Mutlak Değer

Bir sayının, sayı sayı doğrusunda belirttiği noktanın uzaklığına, bu sayının mutlak değeri denir.

a ≥ 0 ise,  |a| = a

a < 0 ise,  |a| = -a dır.

* |a|  ≥ 0

Mutlak Değerin Özellikleri

1. Mutlak değer her zaman 0 a eşit veya 0 dan büyüktür. Negatif olmaz. |a| ≥ 0 dır.
2. Mutlak değerin içi eğer negatifse sayıyı mutlak değerin dışına çıkartırken sayının pozitif olması için (-) işaretiyle çarpılır. |-5| = - (-5) = 5 dir.
3. Ayrı ayrı mutlak değerler içinde çarpılan sayıları tek mutlak değer içinde çarpabiliriz. |a|.|b| = |a.b|
4. Mutlak değer içerisinde yapılan toplama ve çıkarma işlemlerini mutlak değer dışına çıkartıp ayrı ayrı toplayıp yada çıkartamayız. |a| + |b| ≠ |a + b| , |a - b| ≠ |a| - |b| 
5. Mutlak değer içerisinde yapılan bir toplama işlemi, bu sayıların ayrı ayrı mutlaklarının toplamından büyük olamaz. |a + b| ≤ |a| + |b| dir.
6. Mutlak değerin içinden yada dışından kuvvet alınması değeri değiştirmez. |an| = |a|n dir.

Örnek:

x < 0 < y ise

|x - y| + |x| - |y|

ifadesinin eşitini bulalım.

Çözüm:

Mutlak değer sorularında dikkat etmemiz gereken en önemli şey mutlak değerin içini pozitif mi yoksa negatif mi olduğudur. Eğer mutlak değerin içi pozitifse direk dışarı çakarken negatif olması durumunda (-) işaretiyle çarpıp çıkartırız.

x - y < 0,     x < 0   y > 0 olduğuna göre

|x - y| + |x| - |y| = -(x - y) + (- x) - y

                        = -x + y - x - y

                        = -2x olur.

Reel sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir sayının, başlangıç noktasına (yani sıfıra) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. x gerçel sayısının mutlak değeri |x| ile gösterilir.

Mutlak değer bir uzaklık belirttiğinden, herhangi bir sayının mutlak değeri negatif değer alamaz. Bu yüzden mutlak değerin en küçük değeri sıfırdır.

Örnekler
|3| = 3
|–7| = 7
|0| = 0

1. |x| = |–x| veya |a – b| = |b – a| dır.

Örnekler
|4| = |– 4| = 4
|x – 3| = |3 – x|
|–x – 4| = |x + 4|

2. Mutlak değerin içindeki ifade pozitif ise mutlak değerin dışına aynen çıkar, negatif ise (–1) ile çarpılarak
çıkar.