Aralarında asal sayılar, 1 sayısının dışında herhangi bir pozitif ortak böleni bulunmayan sayılara, aralarında asal sayılar denilmektedir. Birden fazla sayının birbirleri arasında aralarında asal sayı olabilmesi için, bu sayıların aynı zamanda asal sayı olması şart değildir.
Asal sayılar, aynı zamanda mutlaka aralarında da asal sayılardır. Bununla beraber, mesela 10 ile 81 sayıları birer asal sayı olmadıkları halde, aralarında asal sayılar olarak kabul edilir. Diğer bir yandan da 10 ile 8 sayıları birer asal sayı durumu olmamasına rağmen, 2 ortak böleni bulunması sebebiyle de aynı zamanda aralarında asal sayıda değillerdir. Bir sayı için aralarında asal olan iki sayıya birden bölünebilir ise bu iki sayının çarpımlarına da bölündüğünü söyleyebiliriz.
Asal sayıların bir alt dalı kabul edilen aralarında asal sayılar için bazı benzerlikler ve farklılıklar vardır. Aralarında asal sayıların asal sayılara olan benzerlikleri arasında her iki sayı içinde pozitif bir değerin aranması ile ortak bir pozitif bölenin bulunmasını ve 1 sayısının her ikisi içinde bir pozitif ortak bölen olması durumu vardır.
Asal sayı ile aralarında asal sayılar arasında en temel farklılık ise asal sayılar kendisinden başka sayılara bölünmemesi (1 hariç) durumu söz konusuyken aralarında asal sayılar için ise birden fazla sayı arasında karşılaştırma yapıldığı için kendisine bölünüp bölünmemesi şart değildir.
Aynı zamanda yine aralarında asal sayıların kendi aralarında mukayese yapılması sebebiyle karşılaştırma yapılan sayılar arasında asal olmayan sayılar da bulunabilir. Bu durum aralarında asal sayı olup olmamasını etkileyecek bir neden değildir. Aralarında asal olabilmesi karşılaştırma yapılan sayıların kendi aralarındaki durumu ve her iki sayının da ortak bölenlerinin bulunmamasıdır.
Ancak karşılaştırma yapılan sayılar için sadece bir tanesi çift sayı olabilir. Aksi halde aralarında asal sayı olma durumunu bozar.
Örneğin
Örneğin
- 2, 9
- 10, 81
- 5, 29
- 3, 8
- 2, 10, 35
Asal olmayan sayılar için ise bileşik sayı denilmektedir. Bundan ötürü, bileşik sayılarda 1 ile kendisinden başka ortak bölen bulunmaktadır. Mesela 10 sayısını inceleyelim. 10 bir bileşik sayıdır. Çünkü 10’nun bölenleri arasında 1 ile kendisinin dışında 2 ve 5 de bulunmaktadır.
Burada dikkat edilmesi gereken mesele asal sayı olmayan yan bileşik sayı olan 10 sayısının çarpanlarından olan 2 ile 5 sayıları birer asal sayıdır ve 10 sayısı iki asal sayının çarpımı sonucu ortaya çıkmıştır. Buradan da şu sonuç elde edilir. Asal sayıların birbirleriyle çarpımı sonucu elde edilen sayı asal sayı olamaz. Ancak bileşik sayı olduğu kesindir.
Örnek
Aşağıda verilmiş olan sayıların aralarında asal olup olmadığın bulunuz?
a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25
Çözüm:
a) 4 ile 20 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölenler de 2 ve 4' tür.
b) 6 ile 21 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölen ise bir tanedir ve 3' tür.
c) 27, 36 ve 39' sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölen ise 3' tür.
d) 8, 24 ve 36 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölenler de 2 ile 4' tür.
e) 3, 5 ve 25 sayılarının ortak böleni bulunmamaktadır. Çünkü, bu üç sayıyı birden ortak bölen 1 sayısından başka herhangi bir sayı bulunmamaktadır. Bu sebepten ötürü, bu sayılar için aralarında asaldır diyebiliriz.
Örnek
Aşağıda verilmiş olan sayıların aralarında asal olup olmadığın bulunuz?
a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25
Çözüm:
a) 4 ile 20 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölenler de 2 ve 4' tür.
b) 6 ile 21 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu bölen ise bir tanedir ve 3' tür.
c) 27, 36 ve 39' sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölen ise 3' tür.
d) 8, 24 ve 36 sayılarının ortak böleni bulunmaktadır ve bu ortak bölenler de 2 ile 4' tür.
e) 3, 5 ve 25 sayılarının ortak böleni bulunmamaktadır. Çünkü, bu üç sayıyı birden ortak bölen 1 sayısından başka herhangi bir sayı bulunmamaktadır. Bu sebepten ötürü, bu sayılar için aralarında asaldır diyebiliriz.
Sayma sayıları arasında 1 rakamından başka pozitif ortak bölüm yapan sayıya sahip olmayanlara aralarında asal sayılar adı verilmektedir. Bu durumu örneklemek gerekirse, 4 ve 9 kendi aralarında asaldır. Başka bir örnek vermek gerekirse aynı şekilde 7 ve 11 sayıları da kendi aralarında asal sayılardır.
Olayı biraz daha açmak gerekirse;
4 sayısı 2 sayısına tam bölünür. Fakat 9 sayısı 2 sayısına tam bölünmez. 9 sayısı 3 sayısına tam bölünür. Ancak 4 sayısı 3 sayısına tam bölünmez. Bu iki sayı, 1 sayısından başka ortak pozitif bölene sahip olmadığı için aralarında asal sayılar olarak kabul edilir.
Örnekleri çoğaltabiliriz, 5 ile 8 aralarında asaldır, çünkü ikisinde tek ortak böleni 1 dir. Ancak 40 ile 8 aralarında asal değildir, ikisi hem 8 e hemde 1 bölünmektedir.
Gelin 90 sayısını asal sayılara ayırarak aralarında asal olan sayılar elde edelim.
90 sayısının çarpanları 90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1’dir. Yani buradaki aralarında asal olan sayılar; (2-45) , (9-10), (18-5). Aralarında asal sayı elde edebilmek aslında çok kolay biraz çarpanlara ayırma bilinmesi bu konudaki soruları çözmek için yeterlidir. Sitemizde çarpanlara ayırma hakkında yazdığımız makalemizi bulabilirsiniz
Bir (1) asal sayı mıdır?
1 (bir) asal sayı değildir, Çoğu kişi kulaktan duyma cevaplar yüzünden 1 sayısını asal sayı olarak bilmektedir. Bu yazımızdan sonra 1 sayısının asal olup olmadığını kesin bir şekilde öğreneceksiniz.
Bir sayının asal olabilmesi için, yazımızın en başında da belirttiğimiz gibi iki tane böleni olması gerekmekte olup, bu bölenlerin bir sayısı ve kendisi olması gerekmektedir. Kısaca, iki sayı farklı olmalıdır. Bir sayısının hem kendisi bir olduğu için hem de bire bölündüğü için iki farklı sayı ortamı ve mantığı oluşmadığından, asal sayı olarak kabul edilmemektedir.
Bu işlemi matematiksel olarak anlatmak gerekirse, bir çarpım kümesi oluşturursanız, 7 sayısının çarpım kümesi 7×1 olacaktır. Ancak bir sayısının çarpım kümesi sadece 1 olacağından, kabul edilmemektedir. Tek rakamlı olduğu için, iki rakama ihtiyaç olduğunu bir kere daha vurguluyor ve matematik sorularında böyle bir hata yapmamanız için birden fazla örnekle bu durumu vurguluyoruz.
En Büyük Asal Sayı Kaçtır?
Asal sayı sadece 1′e ve kendisine bölünen pozitif tam sayılara denir. 100′den küçük asal sayıları söyleyecek olursak bunlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97‘dir.
Ayrıca asal bir sayı kendisinden küçük asal sayıya’da bölünememektedir.
“Mersenne.org”da yapılan açıklamada, 17 milyon 425 bin 170 haneli sayının Missouri Üniversitesi’nden matematikçi Curtis Cooper tarafından keşfedildiği belirtildi.
008 yılında keşfedilen 12 milyon 978 bin 189 basamaklı sayı, en uzun asal sayı kabul ediliyordu.
Cooper, “2 üzeri 57.885.161 eksi 1” olarak tanımlanan sayıyı asal sayıları bulmaya adanmış devasa bir gönüllü bilgisayarlar ağının yardımıyla bulduğunu söyledi.
Peki en büyük asal sayı nasıl bulundu?
Büyük İnternet Mersenne Asal Sayı Arama (GIMPS) ağı, saniyede 150 trilyon hesaplama yapan 360 bin işlemci kullanıyor.
“Mersenne Asalları” olarak da bilinen asal sayıların özel bir sınıfının 48. örneği olan sayı, Cooper’ın şimdiye kadar keşfettiği üçüncü asal sayı oldu.
“Mp = 2n- 1” olarak formüle edilen Mersenne Asalları, 17. yüzyılda bu sayıları keşfeden Fransız matematikçi Marsin Mersenne’in ismini taşıyor. Şimdiye kadar bu sayılardan sadece 47 tane keşfedilmişti.
Keşif, Cooper’a 3 bin dolarlık GIMPS ödülü kazandırdı.
1 ve 100 arasındaki asal sayılar nelerdir?
1-10 arasındakiler: 2, 3, 5, 7
10-20 arasındakiler: 11, 13, 17, 19
20-30 arasındakiler: 23, 29
30-40 arasındakiler: 31, 37
40-50 arasındakiler: 41, 43, 47
50-60 arasındakiler: 53, 59
60-70 arasındakiler: 61, 67
70-80 arasındakiler: 71, 73, 79
80-90 arasındakiler: 83, 89
90-100 arasındakiler: 97
10-20 arasındakiler: 11, 13, 17, 19
20-30 arasındakiler: 23, 29
30-40 arasındakiler: 31, 37
40-50 arasındakiler: 41, 43, 47
50-60 arasındakiler: 53, 59
60-70 arasındakiler: 61, 67
70-80 arasındakiler: 71, 73, 79
80-90 arasındakiler: 83, 89
90-100 arasındakiler: 97
Olarak tanımlanmış olup, size bir dizi kaynak oluşturacak niteliktedir.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder