İşlem Nedir ?

A boş olmayan bir küme ve A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde bir ikili işlem ya da işlem denir. İşlem +, -, ., :, ο, Δ, Ä,¤,Å, ... gibi sembollerle gösterilir.

Örnek:

Tam sayılar kümesinde

x ο y = 2x + 5y biçiminde ο işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 5 ο (-1) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

      x ο y = 2x + 5y

5 ο (-1) = 2.5 + 5.(-1)

               = 10 - 5

               = 5 olur.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde,

a ¤ b = 2a - b işlemi tanımlanmıştır. 

k ¤ 7 = 5 ¤ 13 olduğuna göre, k kaçtır ?

Çözüm:

a ¤ b = 2a - b 

k ¤ 7 = 5 ¤ 13

2k - 7 = 2.5 -13

      2k = 4

         k = 2 dir.

Örnek:

Reel sayılarda Δ işlemi,

a Δ b =  √a²+b² olduğuna göre, (3 Δ 4) Δ 12 değerini bulalım.

Çözüm: 

a Δ b =  √a²+b² olduğuna göre,

a = 3 ve b = 4 için, 3 Δ 4 =  √3²+4² = √25 = 5 tir ...(1)

a = 5 ve b = 12 için, 5 Δ 12 =  √5²+12² = √169 = 13 tür. ...(2)

Buna göre, (1) ve (2) den

 (3 Δ 4) Δ 125 Δ 12 = 13 tür.

Örnek:

Δ	S	E	Ç	İ	M
S	E	Ç	İ	M	S
E	Ç	İ	M	S	E
Ç	İ	M	S	E	Ç
İ	M	S	E	Ç	İ
M	S	E	Ç	İ	M

 A = {S, E, Ç, İ, M} kümesi üzerinde Δ işlemi yukardaki tabloya göre tanımlanıyor. Buna göre, S Δ (Ç Δ M) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

Δ	S	E	Ç	İ	M
S	E	Ç	İ	M	S
E	Ç	İ	M	S	E
Ç	İ	M	S	E	Ç
İ	M	S	E	Ç	İ
M	S	E	Ç	İ	M

S Δ (Ç Δ M) = S Δ (Ç) = İ bulunur. 

 İşlemin Özellikleri

1. Kapalılık Özelliği

A boş olmayan küme bir küme ve Δ, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A ise, A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir.

Örnek:

a) N (Doğal Sayılar Kümesi), + işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.

b) IR (Reel Sayılar kümesi), x işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki reel sayının toplamı yine bir reel sayıdır.

Örnek:

Å	1	2	3
1	2	3	1
2	3	1	2
3	1	2	3

 A = {1, 2, 3} kümesinin, yukardaki tabloda tanımlanan Å işlemine göre, kapalı olup olmadığına bakalım.

Çözüm:

1 Å 2 = 3,    3 Å 1 = 1

Görüldüğü gibi, A kümesinden alınan herhangi iki elemanın Å işlemine göre sonucu yine A nın elemanıdır. Bunun için A kümesi Å işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği

A boş olmayan bir küme ve Ä, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A için, a Ä b = b Ä a ise Ä işleminin değişme özelliği vardır denir.

Örnek:

Reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.

Çözüm:

2 + 3 ?=? 3 + 2

         5 = 5

Görüldüğü gibi, iki reel sayının toplamında, sayıların yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmemektedir. Bunun için, reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek:

Reel sayılar kümesinde tanımlanan

x Ä y = x + y -2xy

işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.

Çözüm:

            3 Ä 4 ?=? 4 Ä 3

3 + 4 - 2.3.4 ?=? 4 + 3 - 2.4.3

           7 - 24 ?=? 7 - 24

                  -17 = -17 dir

Görüldüğü gibi Ä işleminin değişme özelliği vardır.

Reel sayılar kümesinde;
Çarpma ve toplama işlemlerinde  değişme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.

 3. Birleşme Özelliği

A boş olmayan bir küme ve v, A da tanımlı bir işlem olsun.

∀ a, b, c Î A için, 

a v (b v c) = (a v b) v c) ise v işleminin birleşme özelliği vardır denir.

Örnek:

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan a l b = a + b - 3 işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığına bakalım.

Çözüm:

       2 l (3 l 5) ?=? (2 l 3) l 5

2 l (3 + 5 -3 ) ?=? (2 + 3 - 3) l 5

                 2 l 5 = 2 l 5 dir.

Buna göre, l işleminin birleşme özelliği vardır.

Reel sayılar gümesinde;
Çarpma ve toplama işlemlerinde  birleşme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.

4. Birim (Etkisiz) Eleman

A boş olmayan bir küme ve q, A da tanımlı bir işlem olsun.∀ a, b, c Î A için,

a q e = e q a = a ise e ye q işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.

e Î A ise A kümesi q işlemine göre birim (etkisiz) eleman özelliğine sahiptir, denir.

Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz (birim) elemanı yoktur.

Örnek:

Reel sayılar kümesi üzerinde

a) Çarpma

b) Toplama

işlemlerinin etkisiz (birim) elemanlarını bulalım.

Çözüm:

a) 1.2 = 2.1 = 2

    1.5 = 5.1 = 5

Görüldüğü gibi, 1 ile hangi reel sayıyı çarparsak çarpalım sonuç daima çarptığımız reel sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,

x.1 = 1.x = x dir.

Yani çarpma (.) işleminin birim elemanı 1 dir.

b) 0 + 4 = 4 + 0 = 4

     0 + 9 = 9 + 0 = 9

Görüldüğü gibi, 0 hangi sayıyla toplanırsa toplsan sonuç daima topladığımız sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,

0 + x = x + 0 = x dir.

Yani, toplama (+) işleminin birim elemanı 0 dır. 

Örnek:

R de tanımlanan 

x t y = x + y + 2 işleminin etkisiz (birim) elemanını bulalım.

Çözüm:

t işleminin değişme özelliği olduğu için, x t e = x eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.

      x t e = x

x + e + 2 = x

      e + 2 = 0

             e = -2 dir.

t işleminin birim (etkisiz) elemanı -2 dir.

Örnek:

R = {N, A, Z, İ, K} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloyla tanımlanan v işleminin etkisiz elemanını bulalım.

v	N	A	Z	İ	K
N	K	N	A	Z	İ
A	N	A	Z	İ	K
Z	A	Z	İ	K	N
İ	Z	İ	K	N	A
M	İ	K	N	A	Z

Çözüm:

Tablodan da görüleceği gibi,

N v A = A v N = N

Z v A = Z v A = Z

İ v A = A v İ = İ

K v A = A v K = K

A v A = A  olduğundan v işleminin birim (etkisiz) elemanı A dır.

 Etkisiz eleman, tabloda başlangıç satırının görüldüğü satırla, başlangıç sütunun görüldüğü sütunun kesşimindeki elemandır.

5. Ters Eleman

 A boş olmayan bir küme ve u, A da tanımlı bir işlem olsun. e, u işleminin birim elemanı olsun.

x Î A için, x u y = y u x = e şartımı sağlayan y ye u işlemine göre, x in tersi denir ve x-1 = y şeklinde gösterilir.

y Î A ise A kümesi u işlemine göre ters eleman özelliğine sahiptir, denir.

• Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.
• Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.
• Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.
• Birim elemanın tersi kendisidir.

 Örnek:

Reel sayılar kümesinde tanımlanan 

x u y = x + y - 6

işlemine göre 3 ün tersini bulalım.

Çözüm: 

Önce birim eleman bulunmalıdır. O halde,

         x 

u e = x den

     x + e - 6 = x

           e - 6 = 0

                 e = 6 bulunur.

3 ün u işlemine göre tersi a olsun. O halde, 3 u a = 6 olmalıdır.

3 + a - 6 = 6

       a - 3 = 6

             a = 9 dur.

Buna göre, 3 ün u işlemine göre tersi 9 dur. Bu, 3-1 = 9 şeklinde gösterilir.

Örnek: 

S	A	D	E
S	D	E	S	A
A	E	S	A	D
D	S	A	D	E
E	A	D	E	S

M = {S, A, D, E} kümesinde tanımlanan ı işlemine göre ,

a) S nin tersini

b) S ı E-1 i

c) S ı (D ı E)-1 i bulalım.

Çözüm:

ı	S	A	D	E
S	D	E	S	A
A	E	S	A	D

D	S	A	D	E
E	A	D	E	S

ı işleminin birim elemanı D dir. O halde,

a) S ı S-1 = D ğ S-1 = S dir.

b) E ı E-1 = D ğ E-1 = A dır. O halde,

     S ı E-1= S ı A = E dir.

c) S ı (D ı E)-1 = S ı (E)-1

                              = S ı A  (E-1 = A idi.)

                              = E bulunur.

6. Yutan Eleman

A boş olmayan farklı bir küme ve n, A da tanımlı bir işlem olsun.

∀ x Î A için x n y = y n x = y ise y Î A ya n işleminin yutan elemanı denir.

Örnek:

R de tanımlanan,

x p y = 3x + yy - xy 

işleminin yutan elemanını bulalım.

Çözüm:

Yutan eleman y olsun. p işlemi değişmeli olduğundan ∀ x Î IR için,

x p y = y olmalıdır.

               x p y = y

3x + y - xy = y

           x.(3 - y) = 0

                      y = 3 bulunur.

Örnek:

Reel sayılar kümesinde (.) işlemine göre, yutan eleman 0 dır.

Çünkü,  ∀ x Î IR için x.0 = 0.x = 0 dır.

Örnek:

A = {x, y, z, t} kümesi üzerinde n işlemi aşağıdaki tabloyla tanımlanıyor. n işlemine göre yutan elemanı bulalım.

n	x	y	z	t
x	x	x	x	x

Çözüm:

n	x	y	z	t
x	x	x	x	x
y	x	y	z	t
z	x	z	t	y
t	x	t	y	z

x n x = x

x n y = x

x n z = x


Aynı elemanlardan oluşan satır ile aynı elemanlardan oluşan sütunun kesişimindeki eleman yutan elemandır.

x n t = x   olduğuna göre yutan eleman x tir.

x Î A olduğu için A kümesi n işlemine göre yutan eleman özelliğine sahiptir.