Problem çözmek güzeldir

 

Ünlü bilimkurgu yazarı Isaac Asimov bir yazısında tarih öncesinden iki insanın diyaloguna yer verir: Tarih öncesi “dâhi”lerinden biri arkadaşına “Bak şimdi” diyerek şu soruyu sorar: “Diyelim ki iki tane taş bıçağım var. Bunları iki kişiye eşit olarak paylaştırabilirim. Bir tane daha taş bıçağım olsa paylaştıramam, ama bir tane daha olsa iki kişiye eşit sayıda dağıtabilirim. 

Bu tür şeyler sonsuza dek devam edebilir mi sence?” Arkadaşı bu soruyu hiç beklemiyordur, şaşkınlıkla şöyle yanıtlar: “Kime ne yahu? Niye bölüştürüyorsun bıçakları hem? Al eline bir şeyler avla işte. İşe yarar bir şey yap!”

Asimov’un kurguladığı bu diyalogla ilk insanın matematiğe nasıl başlayabileceğini hayal ediyoruz. Günlük hayatın içinde kullanımı bulunmayan bir problemi çözmeye çalışıyor ilk insan, daha doğrusu ilk “dahi” insan. “İşe yarar mı?” kaygısı taşımadan, sadece merak ettiği için, eğlencesine uğraşıyor bu problemle. 

Bir bulmacayı çözerken, bir oyunu nasıl kazanabileceğimizi düşünürken de böylesi saf ve soyut bir çaba içinde oluruz, eğer düşünmenin büyüsüne kaptırmışsak kendimizi dünya umurumuzda değildir o an.

Birçok oyun, bulmaca ve popüler matematik probleminde matematiksel araştırmanın ipuçları vardır. Karşılaştığımız sorunun türü ne olursa olsun, “Nasıl çözebilirim?” sorusunu yanıtlama uğraşısı matematiksel düşünceyi içerir, sorunun kurgusu içinde bir keşfe çıkarız adeta. Matematik tarihine baktığımızda, birçok popüler matematik ve mantık probleminin matematiksel teorilerin işaret fişekleri olduklarını görebiliriz.

Bu yazıda bazı basit popüler matematik ve mantık problemlerine yer vereceğiz. Soruların çözümü için gerekli matematik bilgisinin ilköğretim düzeyinde olmasına dikkat ettik; hatta matematik bilgisi gerektirmeyen, salt akıl yürütmeyle çözülebilecek problemleri de ele aldık. Ayrıca soruları ilginç olabileceğini düşündüğümüz kısa hikâyelerle anlatmaya çalıştık. Umarım meraklı okur bu soruların içine dalarak hem eğlenebilir, hem de problem çözme gücünü test edebilir. Problemlerin çözümünü gelecek yazıda vereceğiz. Kolaylıklar…

Gazoz kapakları
Yeğenim Fırat çocukluğunda gazoz içmeyi çok severdi. Onun gazoz içmesini izlemek benim için büyük bir zevkti. Bir yudum aldıktan sonra şişeyi kaldırıp bakar, bir yudum daha alırdı. Yüz ifadesinden şişedeki gazozun hiç eksilmemesini istediğini anlardım.
O günlerde bir gazoz firmasının düzenlediği kampanyada, 4 adet gazoz kapağı getirene 1 adet gazoz ücretsiz veriliyordu, ama bu kampanya kısa sürede sona ermişti.
Fırat, yeni bir kampanyanın düzenlenebileceğini düşünerek yeniden kapak biriktirmeye başlamıştı.
Bir gün sevinç içinde koşarak yanıma geldi, yeni kampanyanın haberini veriyordu. Yine 4 adet gazoz kapağı getirene 1 adet gazozun ücretsiz verildiğini ve kendisinin tam 149 kapak biriktirdiğini söyledi.
Hemen sordum: “Peki, bu 149 kapakla en fazla kaç gazoz içebilirsin?”
Sorumu birkaç dakika sonra yanıtlamıştı. Siz de 149 kapakla en fazla kaç gazoz içilebileceğini bulabilir misiniz?

Barmen kokteyl hazırlıyor
“Her zamankinden mi istersiniz?” sorusuna “Evet, her zamankinden” yanıtını alan barmen, dolaptan iki şişe çıkarır. Birinin içinde 1 litre vermut, diğerindeyse yarım litre cin vardır. Cinin bulunduğu şişeye yarım kadeh vermut koyar ve şişeyi güzelce çalkalar. Daha sonra bu şişeden yine yarım kadeh karışımı vermutu bulunduğu şişeye doldurur. Haliyle başlangıçtaki gibi vermutun bulunduğu şişe yine 1 litre, diğer şişe ise yine yarım litre karışımla doludur.
Barmenin yaptığı bu işlemlerin sonunda vermut şişesindeki cin, cin şişesindeki vermuttan daha mı fazladır? Yoksa daha mı az? Yoksa eşit midirler?

Öğrencilerin son şansı
Sınıfın en yaramaz üç öğrencisi matematik öğretmenine yaptıkları şaka yüzünden okul idaresi tarafından cezalandırılmak üzeredir. Ama matematik öğretmeni öğrencilerinin cezalandırılmasını istemez; çünkü üç öğrenci de matematik dersinde çok başarılıdır. Öğretmen okul müdürüne bir öneride bulunur: “Onlara sizin yanınızda bir soru soracağım, eğer soruyu doğru yanıtlarlarsa ceza vermeyelim. Ne dersiniz?” Müdür bu öneriyi kabul eder ve hemen öğrencileri odasına çağırır.
Öğretmen öğrencilerine güvenmektedir. Onlara şunu söyler: “Çocuklar, size bir şans tanımak istiyoruz. Elimde 3 kırmızı, 2 mavi kart var. Siz görmeden sırtınıza bir kart iğneleyeceğim. Kendi sırtınızdaki kartı asla bilmeyeceksiniz, ama tabii ki birbirinizin sırtındaki kartları görebileceksiniz. Kendi sırtındaki kartın rengini bileni cezalandırmayacağız.” Öğretmen bu sözlerin ardından öğrencilerin hepsinin sırtına birer kırmızı kart iğneler ve teneffüs bitimine kadar herkesin kendi sırtındaki kartın rengini söylemesi gerektiğini bildirir.
Bu durumda üç öğrenciden kaçı ceza almaz, nasıl?

Lewis Carroll problemi
Halis’in hobisi olasılık problemleridir. Yıllardır bu soruların peşinden gitmiş, nerede bir olasılık problemi görse çözünceye kadar uğraşmıştır. Arkadaşları Halis’in bu özelliğini bildiklerinden çözemedikleri olasılık sorularını hep ona sormuşlardır.
Halis’in en yakın arkadaşı Muhlis’tir. Muhlis bir gün, yine bir olasılık probleminin çözümünü öğrenebilmek için Halis’i telefonla arar:
– Halis, sana şimdi soracağım soru Alice Harikalar Diyarında kitabının yazarı olan matematikçi Lewis Carroll tarafından hazırlanmış. Eminim, çok hoşuna gidecek.
– Çok ilginç, Lewis Caroll matematikçi miymiş? Bilmiyordum. Haydi sor, çok merak ettim.
– Peki, soruyorum: Bir torbanın içinde tek bir top var. Bu topun rengini bilmiyoruz, ama onun bize siyah veya beyaz olabileceği söyleniyor. Torbaya beyaz bir top atıyor ve karıştırıyoruz. Sonra torbadan gelişigüzel bir top çekiyoruz, bakıyoruz ki top beyaz. Torbada kalan diğer topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
– Çok güzel bir soru, ama 1/2 dememi beklemiyorsundur sanırım.
– Elbette beklemiyorum. Senin gibi bir ustanın böylesi bir yanlış yapmayacağını çok iyi biliyorum.
– Biraz bekle, telefonu kapatma lütfen, hesaplıyorum.
Halis birkaç dakika içinde doğru yanıtı verir. Bu soruyu siz de yanıtlayabilir misiniz?

İşçi biliyor şef şaşırıyor
Rulman yapımında kullanılan bilyeleri üreten bir atölyede bir günde, her biri tamı tamına 1 gram ağırlığında olan 600 adet bilye üretilmektedir. Bu bilyeler her birinde 100 adet bilye bulunan 6 kutuya koyularak rulman fabrikasına gönderilir. Atölyede sadece bilyeleri tartan, miligramların kesirlerine kadar ölçüm yapabilen hassas tartılar vardır.
Bir gün, atölyedeki makinelerin ayarlarındaki sapma yüzünden 100 adet bilyenin hatalı üretildiği belirlenir. Aynı kutuya koyulduğu anlaşılan bu bilyelerin her birinin ağırlığı 1 miligram fazladır. Altı kutu içinde ağırlığı fazla olan kutunun tartım yapılarak acilen saptanması gerekir.
Korkmaz adındaki atölye şefi paketleme işlemini yapan Sönmez adındaki işçiyi yanına çağırarak, her kutudan bir adet bilye almasını ve toplam 6 tartım yaparak ağırlığı fazla olan bilyeyi, dolayısıyla da hatalı bilyelerin bulunduğu kutuyu belirlemesini ister.
Sönmez, tartım yapacağı bölüme doğru yürürken bir anda 6 tartım yapmaya gerek olmadığını anlayarak geri döner ve şefe şöyle seslenir: “Şef, 6 tartıma gerek yok, hatalı bilyelerin bulunduğu kutuyu tek tartımla saptayabiliriz.”
Şef şaşırmıştır, merakla sorar: “Bu işi nasıl yapacaksın?”
“Şöyle yapacağım: Önce kutuları 1’den 6’ya kadar numaralandıracağım. Sonra ilk kutudan 1 bilye, ikinciden 2, üçüncüden 3, dördüncüden 4, beşinciden 5, altıncıdan 6 bilye alacağım. Bu 21 bilyeyi tartdığımda, sonuç 21 gramdan fazla çıkacak. Eğer fazlalık n gram ise bu n sayısı hatalı bilyelerin bulunduğu kutunun numarasıdır.”
Şef, Sönmez’i hayranlıkla dinlemiştir. “Bravo, senin ne kadar akıllı olduğunu biliyordum, ama böylesi parlak bir düşünceyi beklemiyordum doğrusu.” diyerek tebrik eder. Bir hafta sonra atölyede yeni bir üretim hatası daha yapılır. Bu kez sorun öncekinden daha çetrefillidir. Şef, hemen Sönmez’i çağırır:
“Yine hatalı üretim yapmışız ve hatalı bilyeleri nasıl paketlediğimizi bilmiyoruz. Bu kez kutulardan herhangi biri, belki hepsi birden, her biri 1 miligram fazladan ağırlığa sahip hatalı bilyelerle dolu olabilir. Hatalı bilyelerin bulunduğu kutuyu ya da kutuları hemen saptamalıyız. Bu işi nasıl yaparız? Herhalde bu kez 1 tartımda sonuca ulaşamayız.”
Sönmez, gözlerini kısıp, başını yukarıya doğru kaldırarak bir süre düşündükten sonra “Buldum” diyerek çözümü açıklar.
Sönmez hangi çözüm yolunu bulmuştur?

Biyologları telaşlandıran bakteri
Aylardır bir bakterinin çoğalmasını inceleyen asistan bir biyolog yaptığı araştırmanın sonunda heyecan içinde hocasına şöyle seslenir:
“Hocam, incelediğim bakterinin tüm özelliklerini keşfetmiş bulunuyorum. Bu bakteri her saat sonunda kendisinin 5 kopyasına bölünüyor ve her kopya anında orijinal boyutuna erişiyor. İnanamıyorum! Tek bir bakteri bir saat sonunda 5, bir saat daha geçerse 25, bir sonraki saatin sonunda 125 bakteriye ulaşıyor ve böylece devam ediyor. Bakın, şu cam kavanoza dün 1 adet bakteri bırakmıştım. Az önce kavanoz tamamen doldu. Kavanozun dolma süresi tam 20 saat.”
Hocanın “Çabuk antibakteryel ilacı getir, yoksa laboratuvarı bakteriler basacak” diye telaşlanması üzerine, asistan hemen kavanoza ilacı dökerek bakterilerin çoğalmasını durdurur.
Bakaterilerin çoğalmasının durduğundan emin olduklarında ikisi de sakinleşmiş, konu üzerine konuşmaya başlamışlardır. Bu sohbet sırasında hocanın kafasına bir soru takılır: “Kavanozun bakterilerle tamamen dolma süresi 20 saat ise acaba kavanozun 1/5’i tam dolduğunda kaç saat geçmiştir?”
Asistan bu soruyu kolayca yanıtlar: “Zamanı sondan başa doğru ele alalım. Eğer kavanoz 20 saatte dolmuşsa 1/5’i 19 saatte dolmuş demektir.”
Bu yanıt hocanın çok hoşuna gitmiştir. Biyolojik araştırmayı bir kenara bırakıp, bir soru daha sorar: “Peki, sen diyelim ki kavanoza 1 yerine 5 bakteri koydun. Bu durumda kavanozun 1/5’i kaç saatte dolar?”
Bu soruyu da asistan kısa bir süre düşündükten sonra yanıtlar. Asistanın verdiği yanıtı bulabilir misiniz?